Lista de números primos y perfectos de Mersenne -
List of Mersenne primes and perfect numbers

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Barras de Cuisenaire que muestran los divisores propios de 6 (1, 2 y 3) que suman 6
Visualización del 6 como un número perfecto
Un gráfico que traza los años en el eje x con el número de dígitos del primo más grande conocido logarítmicamente en el eje y, con dos líneas de tendencia
Gráfico logarítmico del número de dígitos del número primo más grande conocido por año, casi todos los cuales han sido números primos de Mersenne
.

Existe una correspondencia biunívoca entre los números primos de Mersenne y los números pares perfectos. Esto se debe al teorema de Euclides-Euler , parcialmente demostrado por Euclides y completado por Leonhard Euler : los números pares son perfectos si y solo si pueden expresarse en la forma

2 p − 1 × (2 p − 1)
, donde
2 p − 1
es un primo de Mersenne. En otras palabras, todos los números que se ajustan a esa expresión son perfectos, mientras que todos los números perfectos se ajustan a esa forma. Por ejemplo, en el caso de
p = 2
,
2 2 − 1 = 3
es primo, y
2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
es perfecto.

Actualmente es un problema abierto si hay un número infinito de números primos de Mersenne e incluso números perfectos. La frecuencia de los números primos de Mersenne es el tema de la conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff , que establece que el número esperado de números primos de Mersenne menores que algunos dados

x
es
( e γ / log 2) × log log x
, donde
e
es el número de Euler ,
γ
es la constante de Euler y
log
es el logaritmo natural . Tampoco se sabe si existen números perfectos impares; Se han probado varias condiciones sobre posibles números perfectos impares, incluido un límite inferior de
10 1500
.

para los números primos de Mersenne que es eficiente para computadoras binarias.

Los rangos mostrados se encuentran entre los índices actualmente conocidos a partir de 2022; aunque es poco probable, los rangos pueden cambiar si se descubren los más pequeños. Según GIMPS, todas las posibilidades menores que el 48º exponente de trabajo

p = 57 885 161
se comprobaron y verificaron a partir de octubre de 2021. El año del descubrimiento y el descubridor son del primo de Mersenne, ya que el número perfecto sigue inmediatamente por el teorema de Euclides-Euler. Los descubridores indicados como "GIMPS/ nombre " se refieren a los descubrimientos de GIMPS con hardware utilizado por esa persona. Las entradas posteriores son extremadamente largas, por lo que solo se muestran los primeros y últimos 6 dígitos de cada número.

Tabla de los 51 números primos de Mersenne conocidos actualmente y los números perfectos correspondientes
Rango
pags
primo de Mersenne dígitos primos de Mersenne número perfecto dígitos de números perfectos Descubrimiento Descubridor Método Árbitro.
1 2 3 1 6 1
Tiempos antiguos
Conocido por los matemáticos griegos antiguos No registrado
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 13 8191 4 33550336 8
C. 1456
Anónimo división de prueba
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
pietro cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonhard Euler División de prueba con restricciones modulares
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
noviembre de 1883
Iván M. Pervushin secuencias de lucas
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
junio de 1911
ralph ernesto poderes
11 107 162259...288127 33 131640...728128 sesenta y cinco
1 de junio de 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10 de enero de 1876
Édouard Lucas
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30 de enero de 1952
Rafael M. Robinson LLT en SWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
15 1,279 104079...729087 386 541625...291328 770
25 de junio de 1952
dieciséis 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1,327
7 de octubre de 1952
17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373
9 de octubre de 1952
18 3,217 259117...315071 969 335708...525056 1,937
8 de septiembre de 1957
hans riesel LLT en BESK
19 4,253 190797...484991 1,281 182017...377536 2,561
3 de noviembre de 1961
Alejandro Hurwitz LLT en IBM 7090
20 4,423 285542...580607 1,332 407672...534528 2,663
21 9,689 478220...754111 2,917 114347...577216 5,834
11 de mayo de 1963
Donald B. Gillies LLT en ILLIAC II
22 9,941 346088...463551 2,993 598885...496576 5,985
16 de mayo de 1963
23 11,213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751
2 de junio de 1963
24 19,937 431542...041471 6,002 931144...942656 12,003
4 de marzo de 1971
Bryant Tuckerman LLT en IBM 360/91
25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13,066
30 de octubre de 1978
Landon curt noll y laura níquel LLT en CDC Cyber 174
26 23,209 402874...264511 6,987 811537...666816 13,973
9 de febrero de 1979
Landon Curt Noll
27 44,497 854509...228671 13,395 365093...827456 26,790
8 de abril de 1979
Harry L. Nelson y David Slowinski LLT en Cray-1
28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924
25 de septiembre de 1982
David Slowinsky
29 110,503 521928...515007 33,265 136204...862528 66,530
29 de enero de 1988
Walter Colquitt y Luke Welsh LLT en NEC SX -2
30 132,049 512740...061311 39,751 131451...550016 79,502
19 de septiembre de 1983
David Slowinski et al. ( Llorar ) LLT en Cray X-MP
31 216,091 746093...528447 65,050 278327...880128 130,100
1 de septiembre de 1985
LLT en Cray X-MP/24
32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663
17 de febrero de 1992
33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517,430
4 de enero de 1994
LLT en Cray C90
34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263
3 de septiembre de 1996
LLT en Cray T94
35 1,398,269 814717...315711 420,921 331882...375616 841,842
13 de noviembre de 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 en PC Pentium de 90 MHz
36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864
24 de agosto de 1997
GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 en PC Pentium de 100 MHz
37 3,021,377 127411...694271 909,526 811686...457856 1,819,050
27 de enero de 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 en PC Pentium de 200 MHz
38 6,972,593 437075...193791 2,098,960 955176...572736 4,197,919
1 de junio de 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 en IBM Aptiva con procesador Pentium II de 350 MHz
39 13.466.917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892
14 de noviembre de 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT/Prime95 en PC con procesador Athlon T-Bird de 800 MHz
40 20,996,011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858
17 de noviembre de 2003
GIMPS / Michael Shafer LLT/Prime95 en PC Dell Dimension con procesador Pentium 4 de 2 GHz
41 24.036.583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14.471.465
15 de mayo de 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 en PC con procesador Pentium 4 de 2,4 GHz
42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458
18 de febrero de 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103
15 de diciembre de 2005
GIMPS / Curtis Cooper y Steven Boone LLT / Prime95 en PC en la Universidad de Missouri Central
44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714
4 de septiembre de 2006
45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543
6 de septiembre de 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 en PC
46 42.643.801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25.674.127
4 de junio de 2009
GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 en PC con procesador Intel Core 2 de 3 GHz
47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377
23 de agosto de 2008
GIMPS / Edson Smith LLT/Prime95 en PC Dell OptiPlex con procesador Intel Core 2 Duo E6600
48 57.885.161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340
25 de enero 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 en PC en la Universidad de Missouri Central
* 59.451.331 Hito más bajo sin verificar
49 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44.677.235
7 de enero de 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT/Prime95 en PC con procesador Intel Core i7-4790
50 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46.498.850
26 de diciembre de 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT/Prime95 en PC con procesador Intel Core i5-6600
51 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095
7 de diciembre de 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT/Prime95 en PC con procesador Intel Core i5-4590T
* 107,148,487 Hito más bajo no probado

notas

Referencias